Para resolverlo he tenido que realizar los siguientes pasos:
1- Borrar el archivo de configuración de la versión anterior, puesto que en graham-campbell/markdown v.14 ha cambiado la estructura.
rm config/markdown.php
2.- A continuación se vuelve a publicar la configuración actualizada, si es que necesitas cambiar alguna de las opciones personalizadas.
php artisan vendor:publish
Luego seleccionas la opción del Provider: GrahamCampbell\Markdown\MarkdownServiceProvider.
3.- Hacemos el deploy de esta nueva versión del archivo de configuración.
4.- Ahora, conectado por ssh contra el servidor de producción, lanzamos los comandos necesarios para que se tomen los archivos de configuración nuevos:
php artisan config:clear
Y luego nos aseguramos que todas las vistas estén recompiladas y la caché de las vistas borrada, para que se actualice todo su código y nos aseguremos que funcione correctamente para la versión de GrahamCampbell\Markdown actual.
php artisan view:clear
php artisan view:cache