ASP "Classic" está un poco desfasado, pero sigue funcionando! Aunque lenguajes como C# en la plataforma .net te dan muchas más facilidades para desarrollar tu API, ya que están perfectamente preparados para ese tipo de trabajo. Además es multiplataforma, por lo que podría funcionar en tu servidor.
Pero si tuvieras que hacer tu API Rest en ASP también podrías, aunque deberías hacerlo un poco "manualmente". Quizás además sería un poco aventurado llamarle API Rest, pero al menos sí una aplicación que te devuelva JSON a una solicitud HTTP.
En realidad si no me equivoco, no existe soporte a JSON en ASP Classic, pero lo puedes implementar con una clase propia que se encargue de la traducción de tus estructuras de datos a JSON.
He visto este proyecto en GitHub que podría interesarte, que te ofrece una clase para hacer ese trabajo de leer JSON en ASP y escribir salida en formato JSON. Te recomiendo echar un vistazo por si te viene bien para facilitarte la vida: aspjson