Access no es una base de datos que se preste mucho a eso de exponerla en red. Me temo que tendrías que usar otra base de datos, o al menos sería lo recomendable.
Existen mecanismos para la migración de datos de Access a otras bases de datos, pero te obligaría en tu día a día a alimentar dos bases de datos o realizar las migraciones constantemente, lo que es un trabajo extra en cualquier caso. La solución sería dejar de mantener la base de datos Access y empezar a hacerlo todo con tu aplicación web desde el navegador. Pero claro, es un trabajo grande, que depende mucho de la complejidad de la base de datos que tengas.
Si quieres hacer algo sencillo un tándem bueno es PHP y MySQL. Que funciona en cualquier servidor, o al menos la mayoría. Otra opción es migrar a SQL Server, que tiene migradores directos desde Access.
Los lenguajes que puedes usar en el backend (para el acceso a la base de datos) son diversos, no solo PHP. También puedes usar Python, .NET, Node, Java... pero creo que lo mejor es PHP por facilidad de integración en la web.
Lo que no sé es hasta qué punto tienes tiempo y ganas de migrar todo para superar las restricciones de access. No es un trabajo que se haga en dos días... te dará bastante trabajo.