La respuesta corta es:
git remote rm origin
Con este comando habrás eliminado el repositorio remoto llamado "origin" que es el que tienes asociado en GitHub o cuando usas cualquier otro hosting de repositorios Git.
Para verificar qué origin tienes en un momento dado en tu repositorio escribes este comando.
git remote -v
Una vez has eliminado el origin no debería aparecer nada.
Por qué podrías eliminar el origin
Simplemente por eliminar la asociación de un repositorio que tienes en local con un repositorio remoto que tienes en un servicio como GitHub, para poder asociarlo a otro repositorio en GitHub o en otro servicio similar.
En mi caso este es el paso que tengo que realizar cuando estás subiendo un repositorio Git que tienes en local a GitHub y lo has hecho mal por algún motivo y, para solucionarlo, lo quieres subir de nuevo a otro repo.
En alguna ocasión me ha pasado lo siguiente con Git y Github:
Al hacer el repositorio en GitHub y enviar los primeros contenidos al repo remoto, copio los comandos que me da GitHub y los lanzo en el terminal. Generalmente copio el origin que funciona con https, pero a veces tengo marcada sin darme cuenta la opción por ssh. Cuando me pasa esto me genera un problema "WARNING: REMOTE HOST IDENTIFICATION HAS CHANGED!" y no se suben los archivos a GitHub por un posible man-in-the-middle attack.
Esto se podría solucionar con esta faq: Solucionar Remote Host Identification Has Changed al hacer ssh, pero es mejor solucionarlo cambiando el origin por https, pero una vez que lanzaste los comandos iniciales ya se había creado el origin con la ruta de ssh, y tienes que borrar el origin anterior para volverlo a crear.
Espero que esto sirva de utilidad para quien tenga este mismo problema.