Para recuperar datos que te vienen de un formulario tienes que usar el array $_POST de PHP.
En el artículo Procesar variables de formularios puedes empezar la lectura, aprendiendo a recibir los datos que te vienen de formulario.
Para tu caso concreto solamente tienes un input de fecha, por lo que necesitarás otro campo input para la segunda fecha. Ojo a los espacios en el código HTML que están mal. No sé si será de copiar y pegar.
<input id="fecha" name="fecha" type="date"><br />< /br>
<input id="fecha2" name="fecha2" type="date2"><br />< /br>
Así que en tu página timeago.php tendrás que recibir esos valores de esta manera:
$fecha1 = $_POST["fecha"];
$fecha2 = $_POST["fecha2"];
Luego tendrías que romper la fecha en varios pedazos. Suponiendo que hayas escrito algo como "31/12/2020", entonces podrías sacar los pedazos así:
$pedazos_fecha1 = explode('/', $fecha1);
Con esos pedazos ya puedes definir las variables iniciales de ese ejemplo que nos mandas, por ejemplo:
// para definir las partes de la fecha 1
$ano1 = $pedazos_fecha1[2];
$mes1 = $pedazos_fecha1[1];
$dia1 = $pedazos_fecha1[0];
El código para producir los pedazos de la fecha2 es idéntico. Con ambos juegos de variables ya puedes hacer el ejemplo.
El resto del código ya sería lo que tienes en el artículo de Calcular días entre dos fechas con PHP.
Yo te recomendaría hacerte una función que te hiciera todo ese proceso, así podrías reutilizarla más veces.
Al principio puede parecer complejo pero es todo practicar.