Las migraciones de un servidor a otro suelen ser bastante delicadas y traer algunas dificultades, pero realmente no hay nada que te impida pasar de un servidor a otro sin perder ningún dato.
Antes de contestar tu pregunta te quiero hacer una reflexión. Si estimas tu página web y piensas que va a ir creciendo y vas a ir aprovechando las posibilidades de tener tu web en Internet, igual te conviene pensar en un alojamiento de pago. Así dentro de un año o dos no tendrás que migrar de nuevo tu página web porque el hosting gratuito haya dejado de existir o porque se te haya quedado pequeño.
Siempre es bueno que tengas en tu ordenador local una copia de los archivos de la web, aunque si no es así, debería existir una opción para que pudieses descargar tu web desde el proveedor antiguo a tu ordenador, ya sea por FTP o a través de la página web de tu alojador.
Una vez con tu copia en local, puedes abrir la nueva cuenta para tu alojamiento en otro proveedor gratuito y subir los archivos que habías descargado antes.
Si no encuentras una manera de descargar una copia de tu página web a tu ordenador, siempre queda la posibilidad de bajar todo tu sitio web, para lo que podrías:
- Bajar el sitio guardando todas las páginas y todas las imágenes según las recibes en tu explorador. Esto es un poco tedioso si tu página es muy grande.
- Utilizar un programa que automatice la descarga de tu página web. Para lo que tenemos programas como el Teleport Pro. Esto es menos laborioso porque no tienes que visitar cada una de tu páginas para guardarlas en tu ordenador, sino que es el propio programa el que visita y guarda cada una de las páginas y las imágenes.