No hay ningún tipo de restricción con PHPMailer en relación al número de correos que quieras generar y enviar desde tu página web.
En el caso que comentas, podrías perfectamente hacer dos correos con PHP Mailer, en el mismo script, y enviarlo al usuario y al administrador. Pueden ser dos correos por separado con contenidos distintos o incluso un mismo correo que puedes enviar al usuario y con copia oculta al administrador. O cualquier combinación entre estas posibilidades o las que necesites.
La única restricción sería que la creación del correo y el envío se debe de hacer en el tiempo que el script de PHP puede funcionar, que está limitado generalmente a 30 segundos. En ese tiempo podrías enviar seguramente decenas o cientos de emails si fuera necesario.
Sugerencia: guardar el contenido en la base de datos
Como sugerencia permíteme apuntar la posibilidad de almacenar los datos del email en la base de datos. Puedes enviarte a ti mismo los datos como apuntabas, pero los correos a veces se pierden ya sea por la entregabilidad a los buzones o bien porque simplemente te olvidas de leerlo a tiempo y te llegan otras decenas o cientos de mensajes.
Por eso creo que, como registro de los datos del envío del formulario puede ser mucho mejor guardarlos en la base de datos. Entonces te envías un mensaje diciendo que tienes nuevos envíos (o simplemente te mandas una copia oculta del correo generado al usuario) y luego vas a tu sitio web donde ves los datos de todos los formularios completados de tus usuarios.
Si por lo que sea no tienes base de datos en tu hosting para almacenar los mensajes recuerda que siempre puedes usar SQLite, ya que está integrado en PHP.