Si envías datos desde un formulario, por ejemplo, y deseas que la propia página te muestre un mensaje de confirmación necesitas usar una solicitud asíncrona, lo que se conoce comúnmente como Ajax.
Te sugiero, si no tienes mucha experiencia, en comenzar usando jQuery. Puedes empezar a aprender las posibilidades de Ajax y jQuery en este artículo: Ajax con jQuery
Luego existen muchas alternativas para mostrar mensajes emergentes. El propio jQuery tiene diversos plugins para conseguir hacer ventanas emergentes de distinto tipo y cajas de diálogo. Puedes consultar la parte de jQuery UI que tiene algunos plugins "oficiales" bastante completos.
Para tu caso en concreto, que te muestra la página en blanco
Luego, tienes otra alternativa que no te haría falta aprender o usar nada de Javascript o jQuery. Sería usar simplemente PHP.
Tienes que entender que cuando se envían datos por post al servidor, si no usas ajax, la página se recarga completamente. Por ese motivo es por el que la página se te queda en blanco. El servidor recibe los datos pero si no manda niguna salida, lo que pasa es que la página se muestra en blanco porque no hay contenido que mostrar.
Entonces, en tu caso tendrías que componer el HTML del mensaje de confirmación en el propio archivo que está procesando los datos que te vienen del formulario. Simplemente tendrás que hacer una salida del HTML que quieras mostrar como confirmación.