¿En qué sistema operativo estás? Es un Linux? ya que el error especifica que el problema son "permisos de acceso" y da la sensación que igual no estás usando permisos suficientes.
Lo que intentaría es ejecutar con "sudo" el comando para la instalación.
Otra pregunta: ¿Qué procedimiento estás usando para la instalación? El comando que aparece en https://getcomposer.org/download/ ???
Santiago
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