¿Cómo hacer en CSS que las barras de scroll aparezcan en un elemento, solo en la vertical?

En realidad si usas overflow:hidden lo que estás haciendo es que no aparezcan las barras de scroll.

Si quieres que las barras de scroll aparezcan solamente en la vertical, tienes que usar el atributo overflow-y:

Esa sería la regla para que la barra de scroll aparezca solamente en los casos que deba aparecer realmente. Es decir, si se necesita.

#element {
    overflow-y: auto;
}

Ahora puedes ver otro estilo con el que conseguirías que la barra de scroll esté siempre presente, independientemente de si realmente hace falta (porque el contenido no quepa) o no.

#element {
    overflow-y: scroll;
}

Puedes leerte este artículo con explicaciones detalladas del atributo overflow.

La solución sería:

.element {
    overflow-x: hidden;
    overfloy-y: scroll;
}

Así fuerzas que no haya scroll en la horizontal, ya que con overflow-x: hidden; estarías haciendo que si no hay espacio suficiente, simplemente no se vea el contenido.

Por otra parte overfloy-y: scroll; hace que siempre haya barra de scroll vertical, pero quizás sea más lógico:

.element {
    overflow-x: hidden;
    overfloy-y: auto;
}

para que se consiga que el scroll aparezca solo cuando realmente sea necesario.