Cómo hacer un calendario en PHP para seleccionar fechas en un campo INPUT del HTML

Realmente es que esto no se suele hacer con PHP, sino con Javascript. Existen muchos componentes que puedes usar para conseguirlo. Hacerlo a mano sería un poco complejo e innecesario porque es mejor apoyarse en alguna librería.

A esto que quieres hacer generalmente lo buscas por "datepicker". Sería un unput para colocar la fecha con una interfaz de usuario que tiene un calendario. Te pongo algunos ejemplos de librerías que puedes usar para conseguirlo.

Este está basado en jQuery:

• Manual de uso de jQueryUI Datepicker

Este es Javascript, sin dependencias de otras librerías:

• js-datepicker

Este otro está basado en el estándar de Web Components:

• dile-datepicker

Seguramente que en Google puedes encontrar otras opciones y si ya estás trabajando con librerías de Javascript como React o Vue, seguramente haya componentes de datepicker que se apoyen en ellas. Es cuestión de buscar algo.

Si buscas una solición en PHP puedes leer el manual del calendario de PHP, pero siempre necesitarás algo de javascript, por lo menos para abrir la ventana donde seleccionar la fecha. Y no es la mejor solución porque hace uso de popups.

Lo puedes ver más como un trabajo experimental sobre cómo podrías hacer un calendario con PHP, pero yo no pondría esta solución en el sitio web, sino que la haría alguno de plugins propuestos, u otros que encuentres que te parezcan mejores, ya que al hacerse solo con Javascript son más rápidos y mejoran la experiencia de usuario.