Lo he encontrado finalmente.
La herramienta que buscaba en LinkedIn se llama "Post inspector". Permite hacer un debug sobre los enlaces de tu sitio web, para que veas cómo se verían al compartirse a través de LinkedIn.
https://www.linkedin.com/post-inspector/
Al hacer una búsqueda para debuggear un enlace del sitio, la caché de LinkedIn se borra, permitiendo visualizar el contenido actualizado.
La parte mala es que tendrías que ir haciendo la operativa de enviar cada página al Post inspector, lo que es inviable en un sitio grande. Me imagino no obstante que la caché solamente dure unos días y que en breve se compartirán todos los enlaces correctamente, con los datos completos.