¿Cuál es el servicio de BackEnd de Firebase para publicar funciones que se ejecutan en el servidor?

Firebase es una suite de sercicios backend. La mayoría de los servicios que ofrece son los que se conseguirían desarrollando de la parte del backend.

Pero lo que tú buscas, la ejecución de tus propias funciones, es lo que ellos llaman "Cloud Functions". Con ellas puedes ejecutar cualquier código que necesites, como una función del lado del servidor, pero sin necesidad de tener un servidor, lo que se conoce como serverless, y con total seguridad.