¿Cómo puedo maximizar el navegador automáticamente?

Difícilmente vas a poder conseguir que el navegador se maximice, ya que es algo que depende del usuario.

Se me ocurren varias opciones.

1. Cuando abran la web, entonces puedes abrir un popup con window.open(). Es popup sí que lo podrías maximizar con window.resizeTo(), tal como han comentado en otra respuesta.

2. Crear una Progressive Web App, que tiene algunas capacidades extra como poder instalarse en el dispositivo o en el ordenador del usuario. Entonces tendrás otras posibilidades de trabajo.

3. Crear una aplicación de escritorio con tu página web, usando ElectronJS, para que puedas hacer lo que necesites en una ventana completamente personalizable por ti.

Hola.

Puedes probar utilizando este script de Javascript.

 <script>   
 window.resizeTo(screen.availWidth, screen.availHeight);   
 window.moveTo(0,0);   
 </script> 

Saludos